Vi kender allerede forskellige funktioner eller former for vækst, med tilhørende formler. Hvis en funktion $f$ beskriver højden af et barn, så $f(x)$ er højden af barnet, når barnet er $x$ måneder gammelt giver begrebet væksthastighed god mening. Men også selv om en funktion ikke beskriver noget, man umiddelbart vil kalde vækst, bruger man ordet væksthastighed, som en betegnelse for, hvor hurtigt funktionsværdien $f(x)$ ændrer sig, når $x$ ændres.
I undervisningen har du indtil nu arbejdet med følgende typer af funktioner, der hver for sig siges at beskrive en vækstype:
- Lineær vækst: $f(x)=ax+b$
- Eksponentiel vækst: $f(x)=b \cdot a^x$
- Potensvækst. $f(x)=b\cdot x^a$
Figuren viser grafen for hhv. en lineær vækst (grøn), en potensvækst (rød) og en eksponentiel vækst (blå). De tre grafer er meget forskellige, men de har det tilfælles at alle tre funktioner er voksende. Det vil sige, at når $x$-værdien stiger, bliver $y$-værdien også større.
For den lineære funktion er forskriften $f(x)=ax+b$, hvor $a$ kaldes hældningen af den rette linje. Hvad det helt præcist betyder, kan vi se af topunktsformlen for den rette linje:
\[ a= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \]
hvor $(x_1; y_1)$ og $(x_2; y_2)$ er koordinaterne for to (forskellige) punkter på den rette linje. Her er $x_2-x_1$ ændringen i $x$-værdien mellem de to punkter, og $\Delta y = y_2-y_1$ er tilsvarende ændringen i $y$-værdien. Hvis vi sætter $\Delta x = x_2- x_1$ og $\Delta y = y_2$, kan formlen derfor skrives som
\[ a = \frac{\Delta y}{\Delta x} \label{eq:topunkt2}\]